خانه > عمومی > مقدار بهینه خرید رای 2

مقدار بهینه خرید رای 2

تعدادی از دوستان زحمت کشیدند جوابهایی ارائه کردند. ممنون از همگی. جواب کامل می تونه این باشه:

محمود باید به همه  افرادی که می خواد رشوه بده به مقدار مساوی بده (چرا؟). واضح است که برای برنده شدن هم حداقل باید رای 4 نفر رو بخره. حالا فرض کنید که تصمیم می گیره به چهار نفر رشوه بده..در این صورت می دونه که مهدی لازم است تا تنها رای یکی از اون چهار نفر رو به مقداری بیشتر بخره و برنده بشه و مهدی حاضر هست برای اون یک رای حداکثر B تومان بپردازه. پس محمود می دونه که اگه بخواد رای 4 نفر رو بخره باید به هر کدوم حداقل B تومان بده که بعدا مهدی نتونه کاری کنه. پس در مجموع باید 4B بابت خرید رای پرداخت کنه. 

اگه همین تحلیل رو برای مقادیر بیشتر هم انجام بدید می بینید که برای 5، 6، و 7 رای خریدن، محمود باید در مجموع بترتیب 5B/2 و 2B و 7B/4 بپردازه. همانطور که می بینید بهتره که رای هفت نفر رو بخره تا رای 4 یا 5 یا 6 نفر.

البته این جواب تنها در صورتی قابل حصول هست که A>=7B/4 باشه. اگه A<=7B/4 باشه نتیجه انتخابات چی می شه؟

مثال بالا رو می تونیم براحتی به n تعداد رای دهنده هم تعمیم بدیم و جواب همچنان خرید همه رای ها است (درسته؟). برای مقدار زیاد n مقدار پرداخت کل رشوه بهینه چقدر است؟ در واقع اگه تعداد رای دهنده ها خیلی زیاد باشه  ارزش انتخاب شدن در نظر محمود چقدر باید بیشتر از مهدی باشد تا محمود برنده شود؟

2 نکته آخر:

1- توجه کنید که اگه می شد محمود و مهدی یه جورایی پای میز مزاکره بیان و آدمهای منطقی هم بودند می تونستند به یه تفاهم برسن که وضع هر دوشون بهتر بشه. محمود می تونست مهدی رو به مقدار B تومان (به اضافه یه مقدار اندک) بخره و مهدی به نفعش کنار بره.

2- می تونید در همین قالب به مثالی هم فکر کنید که تعداد خرید رای بهینه برای محمود کمتر از کل افراد است؟

دسته‌ها:عمومی
  1. وهاب
    اکتبر 12, 2009 در 5:12 ق.ظ.

    سلام

    البته توی این پست اشاره شده که برای ۶ نفر، بهینه‌ی کل رشوه، 2B هست.
    در حالی که این جوری نیست. برای ۶ نفر، بهینه‌ی رشوه برابر (6/4)*B می‌شه.

    برای تعداد n = 2k نفر،
    رشوه‌ی بهینه برابرB*(2k/(k+1)) s هست

    و برای تعداد n = 2k+1 نفر،
    رشوه‌ی بهینه برابرB*((2k+1)/(k+1)) s هست

    یا اگه بخوایم دو فرمول بالا رو یکی کنیم، برای n نفر اگر
    m = ceil(n/2)+1
    بهینه‌ی کل رشوه برابرB*(n/m) s خواهد بود.

    اگه n به سمت بی‌نهایت میل کنه، رشوه‌ی بهینه به سمت 2B میل می‌کنه.
    پس در این حالت A باید کمی بیش از 2B باشه، تا محمود بتونه برنده بشه.

    …………………………….

    در مورد سوال دوم،

    اگر اون جامعه‌ی ۷ نفری از دو حزب تشکیل شده باشه که ۴ نفر از ۷ نفر در حزب یک باشن و ۳ نفر باقی‌مونده در حزب دو (فرض کنیم هیئت مدیره‌ی یه باشگاه ورزشی می‌خواد مدیر-عامل انتخاب کنه) و عرف داخلی هر دو حزب (یا فقط حزب بزرگتر) به این شکل باشه که رشوه باید به حزب داده بشه و نه فرد، در اون صورت محمود می‌تونه با پرداخت B+1 تومان به حزب یک (حزب ۴-نفره)، برنده بشه. پس عملا فقط به ۴ نفر رشوه داده.

    باید توجه داشت که قبل از روز رای‌گیری، جلسات درون‌حزبی تشکیل می‌شه و تخطی از خط مشی حزب خودی برای هر یک از اعضای هیئت مدیره هزینه‌ی بالایی رو به اون فرد تحمیل می‌کنه. با این حساب، هر یک از دو کاندیدا باید دور رشوه دادن به «یک فرد» رو قلم بگیرن، چون هیچ یک از اعضای هیئت مدیره دل‌ش نمی‌خواد شغل‌ش رو از دست بده.

  2. وهاب
    اکتبر 12, 2009 در 5:17 ق.ظ.

    تصحیح:

    در متن بالا

    m = floor(n/2)+1

  3. حمید
    اکتبر 12, 2009 در 7:18 ق.ظ.

    اگه محمود بخواد 6 نفر رو بخره می دونه که مهدی برای برنده شدن باید 3 تا از این رای ها رو با قیمت بالاتر بخره (چون رای هفتم هم که کسی پولی بهاش نداده طبق فرض برای مهدی است). برای خرید سه رای مهدی می تونه حداکثر B/3 برای هر کدوم پرداخت کنه. پس محمود باید 6 رای رو هر کدوم حداقل به قیمت B/3 بخره که در نهایت جواب 2B حاصل می شه. موافقی؟
    ضمنا مرسی که وقت می ذاری و کامنتهای خیلی خوبی که می نویسی.

  4. وهاب
    اکتبر 12, 2009 در 9:05 ق.ظ.

    من غلط برداشت کردم 🙂
    فک کردم n یعنی جمعیت رای‌دهندگان. در حالی که n ظاهرا تعداد کسانی بوده که رشوه از محمود گرفتن.
    پس باهات موافق‌‌م.

    خواهش می‌کنم. مطالب‌ت بامزه‌ست. خوش‌م میاد از بازی کردن 🙂

  5. شمال
    اکتبر 13, 2009 در 10:54 ب.ظ.

    وای چه جالب یادش بخیر آمار و احتمال که واسم توضیح میدادی مثل اینا بود.
    خدا رحمت کنه پواسون و چیبیشف و….شلدون راس یادم رفت .

  1. No trackbacks yet.

نظر شما در مورد این نوشته چیست؟

در پایین مشخصات خود را پر کنید یا برای ورود روی یکی از نمادها کلیک کنید:

نماد WordPress.com

شما در حال بیان دیدگاه با حساب کاربری WordPress.com خود هستید. خروج /  تغییر حساب )

تصویر توییتر

شما در حال بیان دیدگاه با حساب کاربری Twitter خود هستید. خروج /  تغییر حساب )

عکس فیسبوک

شما در حال بیان دیدگاه با حساب کاربری Facebook خود هستید. خروج /  تغییر حساب )

درحال اتصال به %s

%d وب‌نوشت‌نویس این را دوست دارند: